SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS & THPT TỐ HỮU KHỐI 12 THPT – NĂM HỌC 2009-2010

MÔN TOÁN
Thời gian : 180 phút
----------------------------------------------

Câu 1( 3 điểm ):Cho phương trình
(1)
Giải phương trình khi
.
Xác định các giá trị của m để (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Câu 2 (3 điểm ):Cho hai đường tròn tâm O và O’ có cùng bán kính là R cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho OÂO’=1200. Trên (O) lấy điểm M, trên (O’) lấy điểm M’ sao cho M và M’ nằm ngoài đối với hai đường tròn và MM’ đi qua điểm B. Gọi S là giao điểm các tiếp tuyến của hai đường tròn tại M và M’. Xác định vị trí hai điểm M và M’ để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM’ lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Câu 3 (3 điểm): Cho

Trong đó a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:


Câu 4 (2 điểm): Cho phương trình

Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình có duy nhất một nghiệm dương xn
Tìm

Câu 5 ( 3 điểm):
a) Chứng minh rằng từ điểm A(-2 ; 0) có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
, đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau.Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
b) Giải phương trình :


Câu 6 ( 3 điểm):
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O là một điểm tuỳ ý trong tứ diện. Đường thẳng OG cắt các mặt của tứ diện tại A’, B’, C’. D’ .
Chứng minh rằng :


Câu 7(3 điểm): Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) và I là trung điểm của AH. Mặt phẳng (() quay quanh I, cắt các cạnh AB, AC và AD tại M, N, P. Chứng minh rằng
nhận một giá trị không đổi.
.......................Hết......................











ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN
TRƯỜNG THCS & THPT TỐ HỮU

Câu 1:


Đặt

Khi đó pt trở thành:

Do đó pt luôn có nghiệm
với mọi m.
a)
, ta có:

Vậy
, pt có nghiệm là

b)

Nhận xét: ứng với một giá trị
thì pt
có đúng 1 nghiệm

Vì
là một nghiệm của (1) với mọi m nên pt (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi pt
có đúng 1 nghiệm

Xét hàm số
trên



BBT
t
0



f’(t) 0 + 0 -







f(t) 0



Vậy các giá trị của m cần tìm là:

Câu 2:

Giả sử

Khi đó:
(h vẽ)
Do đó:
và

Ta có:

Suy ra M’’ trùng với M’
Gọi x là tiếp tuyến của (O) tại M
y là tiếp tuyến của (O’) tại M’


và góc tù tạo bởi x và y bằng 1200
Suy ra

Gọi R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp

Ta có

Do đó: R’ lớn nhất khi MM’ lớn nhất.
Gọi H và K lần lần là trung điểm của BM và BM’.
Khi đó KH là hình chiếu của đoạn OO’ trên MM’
Nên

Vậy MM’ lớn nhất khi MM’//OO’.
Giá trị lớn nhất đó là

Câu 3:
Vì vai trò của a, b, c là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta giả sử a Do đó:

Bất đẳng thức đã cho cóa dạng:

(1)
Ta có:
(2)
Do b+c-2a>0 nên
(2)

Xét bất phương trình: f(x)=x2-(b+c)x+bc>0 (4)
Ta có

Nên (4)
(vì bVì a

Vậy (3) đúng
Tương tự ta chứng minh được

Vậy ta có đpcm
Câu 4:
Xét
(n=1 thỏa)